Архивы Справочник юного математика | Репетитор по математике

Рубрика: Справочник юного математика

Векторы

Вектор — направленный отрезок, т.е. отрезок, один которого принимается за начало, другой — за конец вектора.Векторы

Координаты векторы

Векторы

Сложение (вычитание) векторов, заданных координатамиВекторы

Коллинеарные векторы

ВекторыКоллинеарными векторами называют векторы, которые лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Векторы

 

Коллинеарные векторы, которые направлены в одну сторону, называются сонаправленными, а коллинеарные векторы, направленные в противоположные стороны, — противоположно направленными векторами. 

Векторы

Векторы

Равными векторами называются два вектора, которые равны по длине и совпадают по направлениюПротивоположными векторами называются два вектора, которые равны по длине, но противположны по направлению. Вектор, Векторы

Замечание: следует различать понятия «равные векторы» и «векторые, равные по длине». Равные по длине векторы могут отличаться по направлению. Также следует различать понятия «противоположные векторы», которые равные по длине, и «противоположно направленные векторы», которые могут отличаться по длине.Векторы

Угол между векторами

Углом между векторами называется угол между векторами, коллинеарными данным и отложенными от одной точки.

Векторы

Действия над векторами

Умножение вектора на число

ВекторыВекторы

Сложение векторов

ВекторыВекторыВекторыВекторы

Вычитание векторов

Векторы

Координаты вектора

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

ВекторыВекторы

Координаты вектора в прямоугольной системе координатВекторыВекторы

Равные векторы имеют равные одноимённые координаты, т. е. равные первые и  равны вторые координаты. Это объясняется тем, что любой из множества равных векторов, будучи отложенным от начала координат, совпадёт с равным ему радиус-вектором (от точки вектор, равный данному, можно отложить единственным способом), т.е. он будет иметь такие же координаты, как и этот радиус-вектор.

Векторы

Действия над векторами, заданными своими координатами

Векторы

Коллинеарность векторов, заданных координатами

Векторы

Координаты вектора, заданного координатами его начала и концаВекторы

Длина вектора, заданного координатами

Векторы

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов, заданных направленными отрезками

ВекторыВекторыСкалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.


Свойства скалярного произведения

ВекторыВекторы

Скалярное произведение векторов,
заданных координатамиВекторыВекторыВекторы

Координатно-векторный метод
решения задач

Координатный метод

Введение системы координат при решении геометрических задач позволяет перевести эти задачи на язык алгебры и свести их решение многих задач, привлекая к решению модный алгебраический аппарат.

Пример 1. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.Векторы

Пример 2. Доказать, что если расстояние от прямой до центра окружности меньше её радиуса, то прямая имеет с окружностью две общие точки, если это расстояние равно радиусу, то — одну общую точку, если больше радиуса — ни одной.Векторы

Векторный метод

Введение векторов при решении геометрических задач позволяет перевести их решение на язык действий с векторами. Такой метод решения задач называется векторным. Иногда векторный метод значительно упрощает решение задачи. Например, доказательство того, что некоторые точки А, В и С лежат на одной прямой традиционным способом довольно трудоёмкое. Однако оно может быть сведено к доказательству того, что Векторы

Пример 3. Доказать, что средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.Векторы
Пример 4. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.Векторы

 

 

Элементы комбинаторики

Всем привет, с вами ваш репетитор по математике. Вы уже заметили, что в программе совсем недавно появились элементы комбинаторики. Поэтому ко мне часто обращаются с просьбой объяснить эту тему. Напоминаю, что цель моего блога не столько предоставлять готовые решения, сколько помочь научиться решать. В связи с этим я и хочу предоставить своим читателям информацию по данной теме кратко, но как можно более содержательно. Итак…

Элементы комбинаторикиЭлементы комбинаторики

Схема-ориентир для выбора формулы при решении комбинаторных задач

Элементы комбинаторики


Задача 1. Сколькими способами можно расставить на площадке 6 волейболистов?

Число способов размещения на площадке 6 волейболистов равно числу перестановок из 6 элементов: Элементы комбинаторики

Ответ: 720.


Задача 2. Сколько можно провести различных плоскостей через 5 точек пространства, если никакие 4 из них не лежат в одной плоскости.

Решение:

Плоскость определяется тремя точками, поэтому всех плоскостей будет

Элементы комбинаторики

Ответ: 10


 Задача 3. 10 учащихся обменялись фотографиями. Сколько было роздано фотографий?

Решение:

Каждый из 10 учащихся получил 9 фотографий. Таким образом, 10×9=90 фотографий.

Ответ: 90


 Задача 4. Сколько разных слов получим, переставляя буквы слова «математика»?

Решение:Элементы комбинаторики

Ответ: 151200


 Задача 5. Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеется 4 сорта пирожных?

Решение:Элементы комбинаторики

Ответ: 120.


 Задача 6. Каждый телефонный номер состоит из 7 цифр. Сколько всего телефонных номеров  не содержат других цифр, кроме 2, 3, 5 и 7?

Элементы комбинаторики

Ответ: 16384.

Основные понятия теории вероятностей

  • Событие — это явление, о котором можно сказать, что оно происходит или не происходит при определенных условиях.
  • Испытания — это условия, в результате которых происходит (или не происходит) событие.
  • Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти во время проведения определенного испытания. Например: во время вытягивания наугад одной карты из колоды вы взяли даму.
  • Массовыми называют однородные события, наблюдающиеся при определенных условиях, которые могут быть повторены неограниченное количество раз. Например, попадание или промах в серии выстрелов; появление бракованных деталей при серийном выпуске и др.
  • Достоверным называется событие, которое вследствие данного испытания обязательно произойдет. Например, событие «появление на одной из граней игрального кубика натурального числа меньше7» является достоверным.
  • Невозможным называется событие, которое вследствие данного испытания не может произойти. Например, событие «появление на одной из граней игрального кубика числа 7» является невозможным.
  • Попарно несовместимые события — это события, два из которых не могут произойти одновременно. Например, попадание и промах при одном выстреле.
  • Равновозможные события — это такие события, каждое из которых не имеет никаких преимуществ в появлении чаще, чем другое, во время многоразовых испытаний, которые проводятся при одинаковых условиях. Например, появление чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 при броске игрального кубика –равновозможные события.

Классическое определение вероятности

Отношение числа событий, которые способствуют событию А, к общему количеству событий пространства элементарных событий, называются вероятностью случайного события А и обозначается Р(А).

Формула нахождения вероятности

Основные понятия теории вероятностей

где A — событие; P(A) — вероятность события; n число всех возможных элементарных событий; m число событий, которые способствуют событию А.

Теоремы о вероятностях событий

 Вероятность произведения

 Теорема: вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению этих вероятностей:

P(AB) = P(A) · P(B).

 Произведением событий A и B называется событие C = A · B, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие A, и событие B, т.е. оба события произошли. Два события A и B называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события A и B называются зависимыми.

Сложение вероятностей

Теорема: вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) .

Суммой событий A и B называется событие C = A + B, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий A или B, т. е. в наступлении события A, или события B, или обоих этих событий вместе, если они совместны.

Условная вероятность

Пусть A и B — зависимые события. Условной вероятностью PA (B) события B называется вероятность события B, найденная в предположении, что событие A уже наступило.

Теорема: вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило:

Основные понятия теории вероятностей

Теорема: вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

P(A + B) + P(A) + P(B) – P(AB).

Примеры заданий:

Задание №31. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того. что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Решение.

Пусть Аня оказалась в некоторой группе. Тогда для 20 оставшихся учащихся оказаться с ней в одной группе есть две возможности. Вероятность этого события равна 2 : 20 = 0,1.

Ответ: 0,1

Задание №32. В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».

Решение.

В кармане было 4 конфеты, а выпала одна конфета. Поэтому вероятность этого события равна одной четвертой.

Ответ: 0,25.

Задание №33. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?

Решение.

Сумма очков может быть равна 5 в четырех случаях: «3 + 2», «2 + 3», «1 + 4», «4 + 1».

Ответ: 4.

Задание №34. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 19 раз больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.

Решение.

Пусть количество пакетиков с зелёным чаем равно x, тогда пакетиков с чёрным чаем 19x, а всего 20x. Значит, вероятность того, что случайно выбранный пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем, равна

x = 0,05*20x

Ответ: 0,05.

Задание №35. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение.

Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 –0,8 = 0,2. Событие попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся»

равна: Основные понятия теории вероятностей

Ответ: 0,02.

Задание №36. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стёкол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стёкол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение.

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055. Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Ответ: 0,019.

Задание №37. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.

Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», B = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года». События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду, — равна нулю. Тогда:

P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B),откуда, используя данные из условия, получаем: 0,97 = P(A) + 0,89. Тем самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

Ответ: 0,08.

Задание №38. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение.

Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем:

0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.

Ответ: 0,07.

Задание №39. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение.

Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или В — батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем:

P(A + B) + P(A) + P(B) + 0,02 · 0,99 + 0,98 · 0,01 =0,0198 + 0,0098 = 0,0296.

Ответ: 0,0296.

Текстовые задачи

Текстовые задачи условно можно разбить на следующие основные группы:

  • задачи на части и проценты; x задачи с целочисленными данными;
  • задачи на движение;
  • задачи на сплавы, растворы и смеси;
  • задачи на работу.

Методы решения этих задач имеют много общего и одновременно некоторые специфические особенности.

Алгоритм решения текстовых задач

  • Ввод переменных, т. е. обозначение буквами x, y, z… величины, которые требуется найти по условию задачи.
  • Перевод условий задачи на язык математических соотношений, т. е. составление уравнений, неравенств, введение ограничения.
  • Решение уравнений или неравенств.
  • Проверка полученных решений на выполнение условий задачи.

Указания к решению текстовых задач

  • Набор неизвестных должен быть достаточным для перевода условий задачи на язык математических соотношений. Как правило, за неизвестные следует принимать искомые величины.
  • Выбрав неизвестные, в процессе перевода условий задачи в уравнения или неравенства необходимо использовать все данные и условия задачи.
  • При составлении уравнений или неравенств необходимо исходить из требования о решении задачи в общем виде.
  • В составленных уравнениях надо проверить размерность членов уравнений
  • В процессе решения задачи надо избегать результатов, противоречащих физическому смыслу.

Задачи на части и проценты

Основные задачи на части и проценты

  • нахождение данной части числа; x нахождение числа по заданной его части;
  • нахождение процентного отношения двух чисел;
  • нахождение наращенного капитала (сложные проценты) при заданной процентной ставке (т. е. процент прироста капитала);
  • нахождение времени, в течение которого капитал возрастает.

Задачи на части

При решении этого типа задач основным понятием является часть числа. Если задана величина а, то её k-я часть равна kа, где k > 0.

Задачи на проценты

Текстовые задачи

Текстовые задачи

Основные типы задач на проценты

Текстовые задачи

Текстовые задачи

Задачи на выполнение определённого объёма работы

При решении задач, связанных с выполнением определённого объёма работ, используют следующие соотношения:Текстовые задачиТекстовые задачи

Текстовые задачиТекстовые задачиТекстовые задачиТекстовые задачи

Задачи на движение

При решении задач на движение принимают такие допущения:

  • движение считается равномерным, если нет специальных оговорок;
  • изменение направления движения и переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;Текстовые задачиТекстовые задачиТекстовые задачиТекстовые задачиТекстовые задачиЗадание №19. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он ещё не вернулся в пункт А, и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

    Решение.

    К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x, а скорость их сближения — 3x км/час.

    C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составляет 60 км/час.

    Итак, 3х = 60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час.

    Ответ: 80.

    Задание №20. От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 420 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

    Решение.

    Пусть u км/ч — скорость первого теплохода, тогда скорость второго теплохода по течению равна u + 1 км/ч. Первый теплоход находился в пути на 1 час больше, чем второй, отсюда получаем:Текстовые задачиТекстовые задачи

Задачи на сплавы, растворы и смеси

При решении задач этого типа используются следующие допущения:

  • Все полученные сплавы, растворы, смеси считаются однородными.
  • При соединении растворов и сплавов не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонентов.
  • Считают, что литр как мера вместимости сосуда равен литру как меры количества жидкости.
  • Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то выполняются равенства:Текстовые задачи
  • Если первый сплав состоит из нескольких компонентов, например из А, В, С, а второй — из компонентов В, С, D, то «новый» сплав, полученный при соединении этих двух сплавов, будет содержать компоненты А, В, С, D, причём массы этих компонентов в «новом» сплаве равны сумме масс каждого из компонентов, входящих в первый и второй сплавы. 

Очень часто в задачах на смеси и сплавы используются понятия объёмной концентрации и массовой концентрации компонентов, составляющих раствор или сплав. Объёмная (массовая) концентрация есть число, показывающее, какую долю всего объёма (массы) составляет данный компонент.Текстовые задачи

Алгоритм решения задачи на сплавы, растворы и смеси:

  • Изучить условия задачи. Выбрать неизвестные величины (их обозначают буквами х, у и т.д.), относительно которых составить пропорции. Этим мы создаём математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.
  • Используя условия задачи, определить все взаимосвязи между данными величинами.
  • Составить математическую модель задачи и решить её.
  • Изучить полученное решение, провести критический анализ результата.

Текстовые задачиТекстовые задачиТекстовые задачиТекстовые задачи

Задание №22. Имеется два сплава. Первый содержит 15% никеля, второй — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 140 кгсодержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Решение.

Пусть масса первого сплава m 1 кг, а масса второго — m 2 кг. Тогда массовое содержание никеля в первом и втором сплавах 0,15m 1 и 0,35m 2 соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 140 кг, содержащий 30% никеля. Получаем систему уравнений:Текстовые задачиТекстовые задачи

Геометрия. Стереометрия

Общие свойства прямых и плоскостейГеометрия. Стереометрия

ПирамидаГеометрия. Стереометрия

Правильная пирамида

— пирамида, у которой в основании правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.Геометрия. Стереометрия

Усеченная пирамида

— многогранник, часть пирамиды, заключённая между основанием и плоскостью, параллельной основанию.Геометрия. Стереометрия

Призма

— многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.Геометрия. Стереометрия

Прямая призма

— это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками.Геометрия. Стереометрия

Параллелепипед

— призма, основаниями которой являются параллелограммы. Или

— многогранник с шестью гранями, каждая из которых — параллелограмм. Геометрия. Стереометрия

Куб

— правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы.Геометрия. Стереометрия

Прямоугольный параллелепипед

— многогранник с шестью гранями, каждая из которых является прямоугольником.Геометрия. СтереометрияГеометрия. Стереометрия


Тела вращения

— объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Цилиндр

— геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.Геометрия. Стереометрия

Конус

— это геометрическое тело, которое образовано совокупностью всех лучей, исходящих из точки и пересекающих любую плоскую поверхность. В месте пересечения образуется основание конуса.Геометрия. Стереометрия

Усечённый конусГеометрия. Стереометрия

Геометрия. СтереометрияШар

— геометрическое тело совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.

Геометрия. СтереометрияГеометрия. Стереометрия

 

 

Геометрия. Планиметрия

Геометрия. ПланиметрияГеометрия. Планиметрия

Треугольники

Общие свойства треугольникаГеометрия. Планиметрия

Основные соотношения в треугольнике

Геометрия. Планиметрия

Соотношения между сторонами и угламиГеометрия. ПланиметрияПлощадь треугольникаГеометрия. ПланиметрияГеометрия. Планиметрия

Специальные виды треугольников

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой.

Геометрия. ПланиметрияГеометрия. ПланиметрияГеометрия. ПланиметрияРавносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.Геометрия. ПланиметрияМедиана, биссектриса, средняя линия треугольника

Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.Геометрия. ПланиметрияСредняя линия — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.Геометрия. Планиметрия

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону).

В зависимости от типа треугольника высота BD может содержаться:

  • внутри треугольника — это для остроугольного треугольника,
  • совпадать с его стороной, т. е. являться катетом прямоугольного треугольника;
  • проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.Геометрия. Планиметрия

Биссектриса — луч, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам.Геометрия. ПланиметрияЧетырёхугольники. Многоугольники

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельные.

Геометрия. ПланиметрияГеометрия. ПланиметрияРомб — параллелограмм, все стороны которого равны.Геометрия. ПланиметрияГеометрия. ПланиметрияКвадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.Геометрия. ПланиметрияТрапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.Геометрия. Планиметрия

Произвольный выпуклый четырёхугольникГеометрия. ПланиметрияПроизвольный выпуклый многоугольникГеометрия. Планиметрия

Правильный многоугольник — многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.Геометрия. ПланиметрияГеометрия. ПланиметрияОкружностьГеометрия. ПланиметрияСвойства хорды

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.Геометрия. Планиметрия

Свойства касательной и секущей

Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Секущая — прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

Геометрия. ПланиметрияСвойства сектора

Сектор — часть круга, ограниченная двумя его радиусами.Геометрия. ПланиметрияСвойства описанной окружности

Геометрия. ПланиметрияЦентр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трём сторонам.

 

Геометрия. ПланиметрияЦентр окружности, описанной около
прямоугольного треугольника,
лежит на середине гипотенузы.

 

Геометрия. ПланиметрияОколо трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобокая.

Геометрия. ПланиметрияСвойства вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.

Геометрия. ПланиметрияЕсли окружность вписана в произвольный четырёхугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон равны между собой: a + b = c + d.Геометрия. Планиметрия

Функции. Свойства функций

Графики элементарных функций
Функции. Свойства функцийФункции. Свойства функцийФункции. Свойства функцийФункции. Свойства функций

Функции. Свойства функцийФункции. Свойства функций

Свойства элементарных функцийФункции. Свойства функцийФункции. Свойства функцийФункции. Свойства функцийФункции. Свойства функций
Чтение функции по изображённому графикуФункции. Свойства функций

Функции. Свойства функций

Исследование функций с помощью производной

Для решения задачи на производную достаточно знать, что значение производной функции в данной точке равно тангенсу угла, который касательная к графику, проведённая в этой точке, образует с поло- жительным направлением оси абсцисс.

Кроме того, нужно знать, что:

  • в каждой точке интервала возрастания дифференцируемой на этом интервале функции её производная неотрицательная;
  • в каждой точке интервала убывания дифференцируемой на этом интервале функции её производная неположительная;
  • в каждой точке экстремума производная либо равна нулю, либо не существует («угол» на графике функции).

Обратно, если дан график производной функции, то:

  • на тех интервалах, где он расположен выше оси абсцисс (т. е. производная положительна), функция возрастает; на тех интервалах, где он расположен ниже оси абсцисс (т. е. производная отрицательна), функция возрастает;
  • на тех интервалах, где он расположен ниже оси абсцисс (т. е. производная отрицательна), функция убывает.

Общие точки графика производной и оси абсцисс (т. е. точки, в которых производная равна нулю) либо являются точками максимума, если график производной пересекает ось абсцисс «сверху вниз» (т. е. производная меняет знак с плюса на минус: возрастание функции сменяется убыванием), либо являются точками минимума, если график производной пересекает ось абсцисс «снизу вверх» (т. е. производная меняет знак с минуса на плюс: убывание функции сменяется возрастанием), либо не являются точками экстремума (график производной не пересекает ось абсцисс, а лишь касается её; в этом случае не происходит смены знака производной и характер монотонности функции не меняется).

Применение производной к исследованию функции

Производная широко используется для исследования функций, т.е. для изучения различных свойств функций. Например, с помощью производной можно находить промежутки возрастания и убывания функции, её наибольшие и наименьшие значения.

Возрастание и убывание функции

  • Функцию y = f(x) называют возрастающей на промежутке, если для любых x1 и x2, принадлежав- ших этому промежутку, из условия x1 < x2 cледует, что f(x1) < f(x2).
  • Функцию y = f(x) называют убывающей на про- межутке, если для любых x1 и x2, принадлежавших этому промежутку, из условия x1 < x2 следует, что f(x1) > f(x2).
  • Если f'(x) > 0 на промежутке, то функция y = f(x) возрастает на этом промежутке.
  • Если fc(x) < 0 на промежутке, то функция y = f(x) убывает на этом промежутке.

Схема отыскания промежутков возрастания и убывания функции:

  • находим область определения заданной функ- ции y = f(x);
  • вычисляем производную f'(x) функции y = f(x);
  • решаем неравенство:

f'(x) ≥ 0 — находим промежутки возрастания функции y = f(x);

f'(x) ≤ 0 — находим промежутки убывания функции y = f(x).

Экстремумы функции

  • Если производная левее стационарной точки положительна, а правее — отрицательна, т.е. при переходе через стационарную точку производная меняет знак с «+» на «–», то эта стационарная точка является точкой экстремума-максимума.
  • Если при переходе через стационарную точку производная меняет знак с «–» на «+», то эта ста- ционарная точка является точкой экстремума-ми- нимума.
  • Если при переходе через стационарную точку производная сохраняет знак или «–» или «+», то эта стационарная точка является точкой экстрему- ма-перегиба.Функции. Свойства функцийФункции. Свойства функций

    Геометрический смысл производнойФункции. Свойства функцийФункции. Свойства функций

    Уравнение касательнойФункции. Свойства функцийФункции. Свойства функций

    Применение первообразнойФункции. Свойства функцийФункции. Свойства функцийФункции. Свойства функцийФункции. Свойства функцийФункции. Свойства функцийФункции. Свойства функций

Неравенства


Разберём алгоритмы решения несложных рациональных, показательных и логарифмических неравенств и задачи на сравнение чисел с помощью свойств числовых неравенств. Для этого достаточно уметь решать линейные и квадратные неравенства, а также простейшие дробно-рациональные, показательные и логарифмические неравенства, применять свойства числовых неравенств, прикидки и оценки к сравнению чисел.

СОВЕТ

Эти умения вам понадобятся при решении рациональных, показательных или логарифмических неравенств, их систем либо задач на сравнение чисел с помощью свойств числовых неравенств на базовом уровне. 

Если в условии задания есть неравенство, в решении которого вы сомневаетесь, то оставьте его на потом. Сначала решите те неравенства, которые вы можете решить, и установите соответствие между этими неравенствами и их решениями. И тогда оставшееся решение будет соотноситься с тем неравенством, в решении которого вы сомневаетесь.

Неравенства

ЗАМЕЧАНИЯ

  • Допустимые значения неизвестных (ОДЗ) неравенства не обязательно удовлетворяют неравенству, но решения неравенства обязательно входят в ОДЗ.
  • Преобразование входящих в неравенства выражений не должно сужать ОДЗ, так как могут быть потеряны решения неравенств.
  • Преобразование входящих в неравенства выражений не должно расширять ОДЗ, так как могут быть приобретены лишние решения неравенств. В случае расширения ОДЗ надо сразу вводить необходимые ограничения на неизвестную величину.

    Решение неравенств

    Решение неравенств основано на теоремах равносильности неравенств:

НеравенстваНеравенства

Алгебраические неравенства

Неравенства

Рациональные неравенства:
(обычно решают методом интервалов)НеравенстваНеравенстваНеравенстваНеравенства

ЗАМЕЧАНИЕ

  • Справа и слева от контрольных точек, полученных из линейных множителей чётной степени, приравнивая их к нулю, знак не меняется.
  • Точки, которые не входят в интервал, но в них неравенство выполняется, записываются в ответе в фигурных скобках.
  • Все контрольные точки на схеме отмечаются закрашенными точками, и в ответе интервал записан в квадратных скобках, так как знак сравнения неравенства нестрогий (меньше и равно — это нестрогий знак).

Неравенства

ЗАМЕЧАНИЕ

Все контрольные точки на схеме отмечаются незакрашенными точками и в ответе интервал записан в круглых скобках, так как знак сравнения неравенства строгий.Неравенства

  ПРИМЕРЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ЗАДАНИЙНеравенстваНеравенстваНеравенства

Неравенства

ЗАМЕЧАНИЕ

На схеме числовые значения контрольных точек, которые получены из скобок чётной степени, подчёркнуты.

Неравенства

Иррациональные неравенства

Решение иррациональных неравенств сводится к решению равносильных неравенств, при этом:

НеравенстваНеравенстваНеравенства

Показательные и логарифмические неравенства

Показательное неравенство

Неравенства

Логарифмическое неравенство

НеравенстваНеравенстваНеравенстваНеравенстваНеравенства

Свойства неравенств:

Неравенства

Примеры заданий показательных неравенств и формулы, необходимые для их решения
Доведите решение до ответа самостоятельно.НеравенстваНеравенства

Примеры заданий логарифмических неравенств и формулы, необходимые для их решения

Доведите решение до ответа самостоятельно.НеравенстваНеравенства

Уравнения

Уравнением с одной переменной x называется выражение f(x) = g(x), содержащее переменную ве- личину x и знак равенства.

  • Число a называется корнем (или решением) уравнения f(x) = g(x), если при подстановке этого числа в уравнение получается верное числовое ра- венство.
  • Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.
  • Областью допустимых значений (ОДЗ) или областью определения уравнения называется общая область определения для функций f(x) и g(x), стоящих в левой и правой частях уравнения.Уравнения

    Особенности решения уравнений разных типовУравненияУравненияУравненияУравненияУравнения

    СОВЕТ _____________________________________________

    При решении таких уравнений чаще всего их сводят к рациональным возведением правой и левой части урав- нения в степень корня.УравненияУравнения

    Примеры иррациональных уравнений и формулы, необходимые для их решения
    Доведите решение до ответа самостоятельно.УравненияУравнения

    Показательные и логарифмические уравненияУравнения

    Примеры заданий показательных уравнений
    и формулы, необходимые для их решения
    Доведите решение до ответа самостоятельно.УравненияУравнения

    Примеры заданий логарифмических уравнений и формулы,
    необходимые для их решения
    Доведите решение до ответа самостоятельно.УравненияУравнения

    Тригонометрические уравнения

Решение тригонометрического уравнения состоит в выполнении преобразований, в результате которых исходное уравнение сводится к одному из простейших тригонометрических уравнений.

Простейшие тригонометрические уравненияУравненияУравненияУравнения

Свойства элементарных функций

        При решении уравнений и неравенств смешанного типа приходится применять свойства элемен-тарных функций: область определения, область значений, монотонность, ограниченность, чётность и нечётность, периодичность.УравненияУравнения

ПРИМЕРЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ЗАДАНИЙУравненияУравненияУравнения

Преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции

СОВЕТ _____________________________________________

Для преобразования буквенных выражений достаточно знания формул сокращенного умножения, свойств степени, радикалов и логарифмов, угловых значений тригоно- метрических функций, основных формул тригонометрии.

Преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функцииПреобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции

Формулы сокращённого умножения (профильный уровень)Преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функцииПреобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функцииПреобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции

Определение тригонометрических функций

Преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функцииПреобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции:Преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функцииПреобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функцииПреобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции

Тригонометрические формулыПреобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функцииПреобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функцииПреобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функцииПреобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функцииПреобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функцииПреобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функцииПреобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функцииПреобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции