Рубрика: Справочник юного математика

Вектор — направленный отрезок, т.е. отрезок, один которого принимается за начало, другой — за конец вектора.

Координаты векторы

Сложение (вычитание) векторов, заданных координатами

Коллинеарные векторы

Коллинеарными векторами называют векторы, которые лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Коллинеарные векторы, которые направлены в одну сторону, называются сонаправленными, а коллинеарные векторы, направленные в противоположные стороны, — противоположно направленными векторами. 

Равными векторами называются два вектора, которые равны по длине и совпадают по направлению. Противоположными векторами называются два вектора, которые равны по длине, но противположны по направлению. Вектор,

Замечание: следует различать понятия «равные векторы» и «векторые, равные по длине». Равные по длине векторы могут отличаться по направлению. Также следует различать понятия «противоположные векторы», которые равные по длине, и «противоположно направленные векторы», которые могут отличаться по длине.

Угол между векторами

Углом между векторами называется угол между векторами, коллинеарными данным и отложенными от одной точки.

Действия над векторами

Умножение вектора на число

Сложение векторов

Вычитание векторов

Координаты вектора

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Координаты вектора в прямоугольной системе координат

Равные векторы имеют равные одноимённые координаты, т. е. равные первые и  равны вторые координаты. Это объясняется тем, что любой из множества равных векторов, будучи отложенным от начала координат, совпадёт с равным ему радиус-вектором (от точки вектор, равный данному, можно отложить единственным способом), т.е. он будет иметь такие же координаты, как и этот радиус-вектор.

Действия над векторами, заданными своими координатами

Коллинеарность векторов, заданных координатами

Координаты вектора, заданного координатами его начала и конца

Длина вектора, заданного координатами

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов, заданных направленными отрезками

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов,
заданных координатами

Координатно-векторный метод
решения задач

Координатный метод

Введение системы координат при решении геометрических задач позволяет перевести эти задачи на язык алгебры и свести их решение многих задач, привлекая к решению модный алгебраический аппарат.

Пример 1. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Пример 2. Доказать, что если расстояние от прямой до центра окружности меньше её радиуса, то прямая имеет с окружностью две общие точки, если это расстояние равно радиусу, то — одну общую точку, если больше радиуса — ни одной.

Векторный метод

Введение векторов при решении геометрических задач позволяет перевести их решение на язык действий с векторами. Такой метод решения задач называется векторным. Иногда векторный метод значительно упрощает решение задачи. Например, доказательство того, что некоторые точки А, В и С лежат на одной прямой традиционным способом довольно трудоёмкое. Однако оно может быть сведено к доказательству того, что

Пример 3. Доказать, что средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
Пример 4. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Всем привет, с вами ваш репетитор по математике. Вы уже заметили, что в программе совсем недавно появились элементы комбинаторики. Поэтому ко мне часто обращаются с просьбой объяснить эту тему. Напоминаю, что цель моего блога не столько предоставлять готовые решения, сколько помочь научиться решать. В связи с этим я и хочу предоставить своим читателям информацию по данной теме кратко, но как можно более содержательно. Итак…

Схема-ориентир для выбора формулы при решении комбинаторных задач

Задача 1. Сколькими способами можно расставить на площадке 6 волейболистов?

Число способов размещения на площадке 6 волейболистов равно числу перестановок из 6 элементов:

Ответ: 720.

Задача 2. Сколько можно провести различных плоскостей через 5 точек пространства, если никакие 4 из них не лежат в одной плоскости.

Решение:

Плоскость определяется тремя точками, поэтому всех плоскостей будет

Ответ: 10

 Задача 3. 10 учащихся обменялись фотографиями. Сколько было роздано фотографий?

Решение:

Каждый из 10 учащихся получил 9 фотографий. Таким образом, 10×9=90 фотографий.

Ответ: 90

 Задача 4. Сколько разных слов получим, переставляя буквы слова «математика»?

Решение:

Ответ: 151200

 Задача 5. Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеется 4 сорта пирожных?

Решение:

Ответ: 120.

 Задача 6. Каждый телефонный номер состоит из 7 цифр. Сколько всего телефонных номеров  не содержат других цифр, кроме 2, 3, 5 и 7?

Ответ: 16384.

Текстовые задачи условно можно разбить на следующие основные группы:

• задачи на части и проценты; x задачи с целочисленными данными;
• задачи на движение;
• задачи на сплавы, растворы и смеси;
• задачи на работу.

Методы решения этих задач имеют много общего и одновременно некоторые специфические особенности.

Алгоритм решения текстовых задач

• Ввод переменных, т. е. обозначение буквами x, y, z… величины, которые требуется найти по условию задачи.
• Перевод условий задачи на язык математических соотношений, т. е. составление уравнений, неравенств, введение ограничения.
• Решение уравнений или неравенств.
• Проверка полученных решений на выполнение условий задачи.

Указания к решению текстовых задач

• Набор неизвестных должен быть достаточным для перевода условий задачи на язык математических соотношений. Как правило, за неизвестные следует принимать искомые величины.
• Выбрав неизвестные, в процессе перевода условий задачи в уравнения или неравенства необходимо использовать все данные и условия задачи.
• При составлении уравнений или неравенств необходимо исходить из требования о решении задачи в общем виде.
• В составленных уравнениях надо проверить размерность членов уравнений
• В процессе решения задачи надо избегать результатов, противоречащих физическому смыслу.

Задачи на части и проценты

Основные задачи на части и проценты

• нахождение данной части числа; x нахождение числа по заданной его части;
• нахождение процентного отношения двух чисел;
• нахождение наращенного капитала (сложные проценты) при заданной процентной ставке (т. е. процент прироста капитала);
• нахождение времени, в течение которого капитал возрастает.

Задачи на части

При решении этого типа задач основным понятием является часть числа. Если задана величина а, то её k-я часть равна kа, где k > 0.

Задачи на проценты

Основные типы задач на проценты

Задачи на выполнение определённого объёма работы

При решении задач, связанных с выполнением определённого объёма работ, используют следующие соотношения:

Задачи на движение

При решении задач на движение принимают такие допущения:

• движение считается равномерным, если нет специальных оговорок;

• изменение направления движения и переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;Задание №19. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он ещё не вернулся в пункт А, и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

  Решение.

  К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x, а скорость их сближения — 3x км/час.

  C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составляет 60 км/час.

  Итак, 3х = 60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час.

  Ответ: 80.

  Задание №20. От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 420 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

  Решение.

  Пусть u км/ч — скорость первого теплохода, тогда скорость второго теплохода по течению равна u + 1 км/ч. Первый теплоход находился в пути на 1 час больше, чем второй, отсюда получаем:

Задачи на сплавы, растворы и смеси

При решении задач этого типа используются следующие допущения:

• Все полученные сплавы, растворы, смеси считаются однородными.
• При соединении растворов и сплавов не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонентов.
• Считают, что литр как мера вместимости сосуда равен литру как меры количества жидкости.
• Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то выполняются равенства:
• Если первый сплав состоит из нескольких компонентов, например из А, В, С, а второй — из компонентов В, С, D, то «новый» сплав, полученный при соединении этих двух сплавов, будет содержать компоненты А, В, С, D, причём массы этих компонентов в «новом» сплаве равны сумме масс каждого из компонентов, входящих в первый и второй сплавы. 

Очень часто в задачах на смеси и сплавы используются понятия объёмной концентрации и массовой концентрации компонентов, составляющих раствор или сплав. Объёмная (массовая) концентрация есть число, показывающее, какую долю всего объёма (массы) составляет данный компонент.

Алгоритм решения задачи на сплавы, растворы и смеси:

• Изучить условия задачи. Выбрать неизвестные величины (их обозначают буквами х, у и т.д.), относительно которых составить пропорции. Этим мы создаём математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.
• Используя условия задачи, определить все взаимосвязи между данными величинами.
• Составить математическую модель задачи и решить её.
• Изучить полученное решение, провести критический анализ результата.

Задание №22. Имеется два сплава. Первый содержит 15% никеля, второй — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 140 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Решение.

Пусть масса первого сплава m 1 кг, а масса второго — m 2 кг. Тогда массовое содержание никеля в первом и втором сплавах 0,15m 1 и 0,35m 2 соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 140 кг, содержащий 30% никеля. Получаем систему уравнений:

Общие свойства прямых и плоскостей

Пирамида

Правильная пирамида

— пирамида, у которой в основании правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Усеченная пирамида

— многогранник, часть пирамиды, заключённая между основанием и плоскостью, параллельной основанию.

Призма

— многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.

Прямая призма

— это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками.

Параллелепипед

— призма, основаниями которой являются параллелограммы. Или

— многогранник с шестью гранями, каждая из которых — параллелограмм.

Куб

— правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы.

Прямоугольный параллелепипед

— многогранник с шестью гранями, каждая из которых является прямоугольником.

Тела вращения

— объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Цилиндр

— геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Конус

— это геометрическое тело, которое образовано совокупностью всех лучей, исходящих из точки и пересекающих любую плоскую поверхность. В месте пересечения образуется основание конуса.

Усечённый конус

Шар

— геометрическое тело совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.

Треугольники

Общие свойства треугольника

Основные соотношения в треугольнике

Соотношения между сторонами и угламиПлощадь треугольника

Специальные виды треугольников

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой.

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.Медиана, биссектриса, средняя линия треугольника

Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.Средняя линия — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону).

В зависимости от типа треугольника высота BD может содержаться:

• внутри треугольника — это для остроугольного треугольника,
• совпадать с его стороной, т. е. являться катетом прямоугольного треугольника;
• проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.

Биссектриса — луч, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам.Четырёхугольники. Многоугольники

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельные.

Ромб — параллелограмм, все стороны которого равны.Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Произвольный выпуклый четырёхугольникПроизвольный выпуклый многоугольник

Правильный многоугольник — многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.ОкружностьСвойства хорды

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.

Свойства касательной и секущей

Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Секущая — прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

Свойства сектора

Сектор — часть круга, ограниченная двумя его радиусами.Свойства описанной окружности

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трём сторонам.

Центр окружности, описанной около
прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобокая.

Свойства вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.

Если окружность вписана в произвольный четырёхугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон равны между собой: a + b = c + d.

Графики элементарных функций

Свойства элементарных функций
Чтение функции по изображённому графику

Исследование функций с помощью производной

Для решения задачи на производную достаточно знать, что значение производной функции в данной точке равно тангенсу угла, который касательная к графику, проведённая в этой точке, образует с поло- жительным направлением оси абсцисс.

Кроме того, нужно знать, что:

• в каждой точке интервала возрастания дифференцируемой на этом интервале функции её производная неотрицательная;
• в каждой точке интервала убывания дифференцируемой на этом интервале функции её производная неположительная;
• в каждой точке экстремума производная либо равна нулю, либо не существует («угол» на графике функции).

Обратно, если дан график производной функции, то:

• на тех интервалах, где он расположен выше оси абсцисс (т. е. производная положительна), функция возрастает; на тех интервалах, где он расположен ниже оси абсцисс (т. е. производная отрицательна), функция возрастает;
• на тех интервалах, где он расположен ниже оси абсцисс (т. е. производная отрицательна), функция убывает.

Общие точки графика производной и оси абсцисс (т. е. точки, в которых производная равна нулю) либо являются точками максимума, если график производной пересекает ось абсцисс «сверху вниз» (т. е. производная меняет знак с плюса на минус: возрастание функции сменяется убыванием), либо являются точками минимума, если график производной пересекает ось абсцисс «снизу вверх» (т. е. производная меняет знак с минуса на плюс: убывание функции сменяется возрастанием), либо не являются точками экстремума (график производной не пересекает ось абсцисс, а лишь касается её; в этом случае не происходит смены знака производной и характер монотонности функции не меняется).

Применение производной к исследованию функции

Производная широко используется для исследования функций, т.е. для изучения различных свойств функций. Например, с помощью производной можно находить промежутки возрастания и убывания функции, её наибольшие и наименьшие значения.

Возрастание и убывание функции

• Функцию y = f(x) называют возрастающей на промежутке, если для любых x1 и x2, принадлежав- ших этому промежутку, из условия x1 < x2 cледует, что f(x1) < f(x2).
• Функцию y = f(x) называют убывающей на про- межутке, если для любых x1 и x2, принадлежавших этому промежутку, из условия x1 < x2 следует, что f(x1) > f(x2).
• Если f'(x) > 0 на промежутке, то функция y = f(x) возрастает на этом промежутке.
• Если fc(x) < 0 на промежутке, то функция y = f(x) убывает на этом промежутке.

Схема отыскания промежутков возрастания и убывания функции:

• находим область определения заданной функ- ции y = f(x);
• вычисляем производную f'(x) функции y = f(x);
• решаем неравенство:

f'(x) ≥ 0 — находим промежутки возрастания функции y = f(x);

f'(x) ≤ 0 — находим промежутки убывания функции y = f(x).

Экстремумы функции

• Если производная левее стационарной точки положительна, а правее — отрицательна, т.е. при переходе через стационарную точку производная меняет знак с «+» на «–», то эта стационарная точка является точкой экстремума-максимума.
• Если при переходе через стационарную точку производная меняет знак с «–» на «+», то эта ста- ционарная точка является точкой экстремума-ми- нимума.
• Если при переходе через стационарную точку производная сохраняет знак или «–» или «+», то эта стационарная точка является точкой экстрему- ма-перегиба.
  

  Геометрический смысл производной

  Уравнение касательной

  Применение первообразной

Разберём алгоритмы решения несложных рациональных, показательных и логарифмических неравенств и задачи на сравнение чисел с помощью свойств числовых неравенств. Для этого достаточно уметь решать линейные и квадратные неравенства, а также простейшие дробно-рациональные, показательные и логарифмические неравенства, применять свойства числовых неравенств, прикидки и оценки к сравнению чисел.

СОВЕТ

Эти умения вам понадобятся при решении рациональных, показательных или логарифмических неравенств, их систем либо задач на сравнение чисел с помощью свойств числовых неравенств на базовом уровне. 

Если в условии задания есть неравенство, в решении которого вы сомневаетесь, то оставьте его на потом. Сначала решите те неравенства, которые вы можете решить, и установите соответствие между этими неравенствами и их решениями. И тогда оставшееся решение будет соотноситься с тем неравенством, в решении которого вы сомневаетесь.

ЗАМЕЧАНИЯ

• Допустимые значения неизвестных (ОДЗ) неравенства не обязательно удовлетворяют неравенству, но решения неравенства обязательно входят в ОДЗ.
• Преобразование входящих в неравенства выражений не должно сужать ОДЗ, так как могут быть потеряны решения неравенств.
• Преобразование входящих в неравенства выражений не должно расширять ОДЗ, так как могут быть приобретены лишние решения неравенств. В случае расширения ОДЗ надо сразу вводить необходимые ограничения на неизвестную величину.
  

  Решение неравенств

  Решение неравенств основано на теоремах равносильности неравенств:

Алгебраические неравенства

Рациональные неравенства:
(обычно решают методом интервалов)

ЗАМЕЧАНИЕ

• Справа и слева от контрольных точек, полученных из линейных множителей чётной степени, приравнивая их к нулю, знак не меняется.
• Точки, которые не входят в интервал, но в них неравенство выполняется, записываются в ответе в фигурных скобках.
• Все контрольные точки на схеме отмечаются закрашенными точками, и в ответе интервал записан в квадратных скобках, так как знак сравнения неравенства нестрогий (меньше и равно — это нестрогий знак).

ЗАМЕЧАНИЕ

Все контрольные точки на схеме отмечаются незакрашенными точками и в ответе интервал записан в круглых скобках, так как знак сравнения неравенства строгий.

  ПРИМЕРЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ЗАДАНИЙ

ЗАМЕЧАНИЕ

На схеме числовые значения контрольных точек, которые получены из скобок чётной степени, подчёркнуты.

Иррациональные неравенства

Решение иррациональных неравенств сводится к решению равносильных неравенств, при этом:

Показательные и логарифмические неравенства

Показательное неравенство

Логарифмическое неравенство

Свойства неравенств:

Примеры заданий показательных неравенств и формулы, необходимые для их решения
Доведите решение до ответа самостоятельно.

Примеры заданий логарифмических неравенств и формулы, необходимые для их решения

Доведите решение до ответа самостоятельно.

Уравнением с одной переменной x называется выражение f(x) = g(x), содержащее переменную ве- личину x и знак равенства.

• Число a называется корнем (или решением) уравнения f(x) = g(x), если при подстановке этого числа в уравнение получается верное числовое ра- венство.
• Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.
• Областью допустимых значений (ОДЗ) или областью определения уравнения называется общая область определения для функций f(x) и g(x), стоящих в левой и правой частях уравнения.

  Особенности решения уравнений разных типов

  СОВЕТ _____________________________________________

  При решении таких уравнений чаще всего их сводят к рациональным возведением правой и левой части урав- нения в степень корня.

  Примеры иррациональных уравнений и формулы, необходимые для их решения
  Доведите решение до ответа самостоятельно.

  Показательные и логарифмические уравнения

  Примеры заданий показательных уравнений
  и формулы, необходимые для их решения
  Доведите решение до ответа самостоятельно.

  Примеры заданий логарифмических уравнений и формулы,
  необходимые для их решения
  Доведите решение до ответа самостоятельно.

  Тригонометрические уравнения

Решение тригонометрического уравнения состоит в выполнении преобразований, в результате которых исходное уравнение сводится к одному из простейших тригонометрических уравнений.

Простейшие тригонометрические уравнения

Свойства элементарных функций

        При решении уравнений и неравенств смешанного типа приходится применять свойства элемен-тарных функций: область определения, область значений, монотонность, ограниченность, чётность и нечётность, периодичность.

ПРИМЕРЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ЗАДАНИЙ

СОВЕТ _____________________________________________

Для преобразования буквенных выражений достаточно знания формул сокращенного умножения, свойств степени, радикалов и логарифмов, угловых значений тригоно- метрических функций, основных формул тригонометрии.

Формулы сокращённого умножения (профильный уровень)

Определение тригонометрических функций

Обратные тригонометрические функции:

Тригонометрические формулы