Векторы

Вектор — направленный отрезок, т.е. отрезок, один которого принимается за начало, другой — за конец вектора.Векторы

Координаты векторы

Векторы

Сложение (вычитание) векторов, заданных координатамиВекторы

Коллинеарные векторы

ВекторыКоллинеарными векторами называют векторы, которые лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Векторы

 

Коллинеарные векторы, которые направлены в одну сторону, называются сонаправленными, а коллинеарные векторы, направленные в противоположные стороны, — противоположно направленными векторами. 

Векторы

Векторы

Равными векторами называются два вектора, которые равны по длине и совпадают по направлениюПротивоположными векторами называются два вектора, которые равны по длине, но противположны по направлению. Вектор, Векторы

Замечание: следует различать понятия «равные векторы» и «векторые, равные по длине». Равные по длине векторы могут отличаться по направлению. Также следует различать понятия «противоположные векторы», которые равные по длине, и «противоположно направленные векторы», которые могут отличаться по длине.Векторы

Угол между векторами

Углом между векторами называется угол между векторами, коллинеарными данным и отложенными от одной точки.

Векторы

Действия над векторами

Умножение вектора на число

ВекторыВекторы

Сложение векторов

ВекторыВекторыВекторыВекторы

Вычитание векторов

Векторы

Координаты вектора

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

ВекторыВекторы

Координаты вектора в прямоугольной системе координатВекторыВекторы

Равные векторы имеют равные одноимённые координаты, т. е. равные первые и  равны вторые координаты. Это объясняется тем, что любой из множества равных векторов, будучи отложенным от начала координат, совпадёт с равным ему радиус-вектором (от точки вектор, равный данному, можно отложить единственным способом), т.е. он будет иметь такие же координаты, как и этот радиус-вектор.

Векторы

Действия над векторами, заданными своими координатами

Векторы

Коллинеарность векторов, заданных координатами

Векторы

Координаты вектора, заданного координатами его начала и концаВекторы

Длина вектора, заданного координатами

Векторы

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов, заданных направленными отрезками

ВекторыВекторыСкалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.


Свойства скалярного произведения

ВекторыВекторы

Скалярное произведение векторов,
заданных координатамиВекторыВекторыВекторы

Координатно-векторный метод
решения задач

Координатный метод

Введение системы координат при решении геометрических задач позволяет перевести эти задачи на язык алгебры и свести их решение многих задач, привлекая к решению модный алгебраический аппарат.

Пример 1. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.Векторы

Пример 2. Доказать, что если расстояние от прямой до центра окружности меньше её радиуса, то прямая имеет с окружностью две общие точки, если это расстояние равно радиусу, то — одну общую точку, если больше радиуса — ни одной.Векторы

Векторный метод

Введение векторов при решении геометрических задач позволяет перевести их решение на язык действий с векторами. Такой метод решения задач называется векторным. Иногда векторный метод значительно упрощает решение задачи. Например, доказательство того, что некоторые точки А, В и С лежат на одной прямой традиционным способом довольно трудоёмкое. Однако оно может быть сведено к доказательству того, что Векторы

Пример 3. Доказать, что средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.Векторы
Пример 4. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.Векторы