Неравенства
Разберём алгоритмы решения несложных рациональных, показательных и логарифмических неравенств и задачи на сравнение чисел с помощью свойств числовых неравенств. Для этого достаточно уметь решать линейные и квадратные неравенства, а также простейшие дробно-рациональные, показательные и логарифмические неравенства, применять свойства числовых неравенств, прикидки и оценки к сравнению чисел.
СОВЕТ
Эти умения вам понадобятся при решении рациональных, показательных или логарифмических неравенств, их систем либо задач на сравнение чисел с помощью свойств числовых неравенств на базовом уровне.
Если в условии задания есть неравенство, в решении которого вы сомневаетесь, то оставьте его на потом. Сначала решите те неравенства, которые вы можете решить, и установите соответствие между этими неравенствами и их решениями. И тогда оставшееся решение будет соотноситься с тем неравенством, в решении которого вы сомневаетесь.
ЗАМЕЧАНИЯ
- Допустимые значения неизвестных (ОДЗ) неравенства не обязательно удовлетворяют неравенству, но решения неравенства обязательно входят в ОДЗ.
- Преобразование входящих в неравенства выражений не должно сужать ОДЗ, так как могут быть потеряны решения неравенств.
- Преобразование входящих в неравенства выражений не должно расширять ОДЗ, так как могут быть приобретены лишние решения неравенств. В случае расширения ОДЗ надо сразу вводить необходимые ограничения на неизвестную величину.
Решение неравенств
Решение неравенств основано на теоремах равносильности неравенств:
Алгебраические неравенства
Рациональные неравенства:
(обычно решают методом интервалов)![Неравенства](https://lorikmetl.ru/wp-content/uploads/2022/08/Без-заголовка-100-300x74.png)
![Неравенства](https://lorikmetl.ru/wp-content/uploads/2022/08/Без-заголовка-101-300x272.png)
![Неравенства](https://lorikmetl.ru/wp-content/uploads/2022/08/Без-заголовка-102-300x277.png)
![Неравенства](https://lorikmetl.ru/wp-content/uploads/2022/08/Без-заголовка-103-300x218.png)
ЗАМЕЧАНИЕ
- Справа и слева от контрольных точек, полученных из линейных множителей чётной степени, приравнивая их к нулю, знак не меняется.
- Точки, которые не входят в интервал, но в них неравенство выполняется, записываются в ответе в фигурных скобках.
- Все контрольные точки на схеме отмечаются закрашенными точками, и в ответе интервал записан в квадратных скобках, так как знак сравнения неравенства нестрогий (меньше и равно — это нестрогий знак).
ЗАМЕЧАНИЕ
Все контрольные точки на схеме отмечаются незакрашенными точками и в ответе интервал записан в круглых скобках, так как знак сравнения неравенства строгий.
ПРИМЕРЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ЗАДАНИЙ![Неравенства](https://lorikmetl.ru/wp-content/uploads/2022/08/Без-заголовка-106-300x158.png)
![Неравенства](https://lorikmetl.ru/wp-content/uploads/2022/08/Без-заголовка-107-300x293.png)
![Неравенства](https://lorikmetl.ru/wp-content/uploads/2022/08/Без-заголовка-108-300x196.png)
ЗАМЕЧАНИЕ
На схеме числовые значения контрольных точек, которые получены из скобок чётной степени, подчёркнуты.
Иррациональные неравенства
Решение иррациональных неравенств сводится к решению равносильных неравенств, при этом:
Показательные и логарифмические неравенства
Показательное неравенство
Логарифмическое неравенство
Свойства неравенств:
Примеры заданий показательных неравенств и формулы, необходимые для их решения
Доведите решение до ответа самостоятельно.
Примеры заданий логарифмических неравенств и формулы, необходимые для их решения
Доведите решение до ответа самостоятельно.